Question

【題目】已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關(guān)于直線AF成軸對(duì)稱，三角形ABE與三角形DCE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，點(diǎn)E、D、M都在線段AF上，BM的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)P．

（1）求證：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出全等三角形進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段相等；

（2）利用（1）中所求，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出答案．

解：(1)證明：∵△ABM與△ACM關(guān)于直線AF成軸對(duì)稱，

∴△ABM≌△ACM，

∴AB=AC，

又∵△ABE與△DCE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，

∴AC=CD；

(2)∠F=∠MCD.

理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴設(shè)∠MPC=α，則∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

設(shè)∠BMA=β，則∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM∠PMF=αβ，

∠MCD=∠CDE∠DMC=αβ，

∴∠F=∠MCD.