Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.2]=3，已知正整數(shù)n小于2004，且[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

，則這樣的n有

 

個(gè)．

Answer 1

分析：首先由[

n

3

]+[

n

6

]是整數(shù)，可得n是偶數(shù)，然后分別從當(dāng)n=6k（k為正整數(shù)）時(shí)，當(dāng)n=6k+2（k為正整數(shù)）時(shí)，當(dāng)n=6k+4（k為正整數(shù)）時(shí)去分析，即可得n=6k，即符合條件的n是6的倍數(shù)，即可求得n的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

是整數(shù)，
∴

n

2

是整數(shù)，
即n是偶數(shù)，
當(dāng)n=6k（k為正整數(shù)）時(shí)，[

n

3

]+[

n

6

]=2k+k=3k=

6k

2

，∴n=6k滿足要求．
當(dāng)n=6k+2（k為正整數(shù)）時(shí)，[

6k+2

3

]+[

6k+2

6

]=[2k+

2

3

]+[k+

1

3

]=2k+k=3k，

6k+2

2

=3k+1，
∴[

n

3

]+[

n

6

]≠

n

2

，故此時(shí)無解；
當(dāng)n=6k+4（k為正整數(shù)）時(shí)，[

6k+4

3

]+[

6k+4

3

]=[2k+

4

3

]+[k+

2

3

]=2k+1+k=3k+1，

6k+4

2

=3k+2，
∴[

n

3

]+[

n

6

]≠

n

2

，故此時(shí)也無解．
∴只有n=6k（K為正整數(shù)）時(shí)，[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

，
∴2004÷6=334，所以這樣的正整數(shù)有334-1=333個(gè)．
故答案為：333．

點(diǎn)評：此題考查了取整函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是得到n是偶數(shù)，繼而可得n是6的倍數(shù)．注意分類討論思想的應(yīng)用．