Question

【題目】如圖，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點，△ABC為等邊三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．

（1）A點坐標(biāo)為　 　，B點坐標(biāo)為　 　；

（2）求證：點D在拋物線上；

（3）點M在拋物線的對稱軸上，點N在拋物線上，若以M、N、O、D為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），（5，0）；（2）見解析；（3）點M的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，即可求解；

（2）證明△OAC≌△DBC（SAS），則BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；

（3）分OD是平行四邊形的邊、OD是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解．

解：（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，

故A點坐標(biāo)為：（2，0）、B點坐標(biāo)為（5，0）；

（2）連接CD、BD，

由（1）知：OA＝2，AB＝3，等邊三角形ABC的邊長為3，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，

∵∠COD＝60°，且OD＝OC，則△OCD為等邊三角形，

∴OD＝CD＝CO，則∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，

而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，

∴∠OCA＝∠DCB，

而CO＝CD，CA＝CB，

∴△OAC≌△DBC（SAS），

∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，

∴∠OBD＝60°，則yD＝﹣BDsin∠OBD＝﹣2×＝﹣，

故點D的坐標(biāo)為（4，﹣），

當(dāng)x＝4時，y＝＝﹣，

故點D在拋物線上；

（3）拋物線的對稱軸為：x＝，

設(shè)點M（，s），點N（m，n），

n＝m2﹣m+5，

①當(dāng)OD是平行四邊形的邊時，

當(dāng)點N在對稱軸右側(cè)時，

點O向右平移4個單位，向下平移個單位得到D，

同樣點M向右平移4個單位，向下平移個單位得到N，

即：+4＝m，s﹣＝n，而n＝m2﹣m+5，

解得：s＝

則點M（，）；

當(dāng)點N在對稱軸左側(cè)時，

同理可得：點M（，）；

②當(dāng)OD是平行四邊形的對角線時，

則4＝+m，﹣＝n+s，而n＝m2﹣m+5，

解得：s＝，

則點M（，），

故點M的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）．