(2013•玉林)如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形,將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF,DE分別交AB,AC于點M,N,DF交AC于點Q,則有以下結(jié)論:①∠DQN=30°;②△DNQ≌△ANM;③△DNQ的周長等于AC的長;④NQ=QC.其中正確的結(jié)論是
①②③
①②③
.(把所有正確的結(jié)論的序號都填上)
分析:連結(jié)OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOD=∠COF=30°,再根據(jù)圓周角定理得∠ACD=∠FDC=15°,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°;
同理可得∠AMN=30°,由△DEF為等邊三角形得DE=DF,則弧DE=弧DF,得到弧AE=弧DC,所以∠ADE=∠DAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有ND=NA,于是可根據(jù)“AAS”判斷△DNQ≌△ANM;利用QD=QC,ND=NA可判斷△DNQ的周長等于AC的長;由于∠NDQ=60°,∠DQN=30°,則∠DNQ=90°,所以QD>NQ,而QD=QC,所以QC>NQ.
解答:解:連結(jié)OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF,如圖,
∵△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF,
∴∠AOD=∠COF=30°,
∴∠ACD=
1
2
∠AOD=15°,∠FDC=
1
2
∠COF=15°,
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°,所以①正確;
同理可得∠AMN=30°,
∵△DEF為等邊三角形,
∴DE=DF,
∴弧DE=弧DF,
∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF,
而弧AD=弧CF,
∴弧AE=弧DC,
∴∠ADE=∠DAC,
∴ND=NA,
在△DNQ和△ANM中
∠DQN=∠AMN
∠DNQ=∠ANM
DN=AN

∴△DNQ≌△ANM(AAS),所以②正確;
∵∠ACD=15°,∠FDC=15°,
∴QD=QC,
而ND=NA,
∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC,
即△DNQ的周長等于AC的長,所以③正確;
∵△DEF為等邊三角形,
∴∠NDQ=60°,
而∠DQN=30°,
∴∠DNQ=90°,
∴QD>NQ,
∵QD=QC,
∴QC>NQ,所以④錯誤.
故答案為①②③.
點評:本題考查了圓的綜合題:弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到,同時熟練掌握三角形全等的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
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