Question

如圖，P是邊長為1的正三角形ABC的BC邊上一點，從P向AB引垂線PQ，延長QP與AC延長線交于R．
（1）設(shè)BP=x（0≤x≤1），△BPQ與△CPR的面積之和y，把y表示為自變量x的函數(shù)；
（2）求y的最大值、最小值及這時x的值（包括△BPQ和△CPR面積為零的情況）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)BP=x，則PC=1-x，根據(jù)S_三角形=

1

2

absinC，可分別表示出△BPQ與△CPR的面積，繼而可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的關(guān)系式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）設(shè)BP=x，則PC=1-x，
在Rt△PBQ中，∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=

1

2

BP=

1

2

x，
∴AQ=1-

1

2

x，
在Rt△AQR中，∠A=60°，
∴∠R=30°，
∴AR=2AQ=2（1-

1

2

x）=2-x，BC=AR-AC=1-x，
∴CR=2-x-1=1-x，
∴y=S_△BPQ+S_△CPR=

1

2

×BP×BQ×sin∠B++

1

2

CP×CR×sin∠PCR=

1

2

×

1

2

x×x×sin60°+

1

2

（1-x）²sin120°
=

3 3

8

x²-

3

2

x+

3

4

（0≤x≤1）．

（2）由（1）得y=

3 3

8

x²-

3

2

x+

3

4

=

3 3

8

（x-

2

3

）2+

3

12

（0≤x≤1），
∵

3 3

8

＞0，
∴當x=

2

3

時，y有最小值

3

12

；
當x=0時，y有最大值

3

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了三角形的面積、解直角三角形及配方法求二次函數(shù)最值的知識，綜合考察的知識點較多，解答此類綜合性題目需要扎實的基本功，將所學知識融會貫通．