Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．
（1）求證：點F是BD中點；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；進而可得比例關系式，再根據其中的相等關系可得BF=FD，即點F是BD中點；
（2）連接CB、OC，根據角的關系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，進而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切線；
（3）根據切割線定理可得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，解之即可的答案．
解答：（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；（1分）
∴．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即點F是BD中點．

（2）證明：連接CB、OC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC為圓O半徑，
∴CG是⊙O的切線．（6分）

（3）解：∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．（7分）
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．（8分）
∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
∵BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0
∴FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=．
∴⊙O半徑為2．（10分）
點評：本題考查切線的判定，線段等分關系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．