Question

已知：如圖①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分別是邊BC，CD上的點(diǎn)．
（1）如圖①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的長；
（2）如圖②，若

BP

CQ

=2，且E，F(xiàn)，G分別為AP，PQ，PC的中點(diǎn)，求四邊形EPGF的面積．

Answer 1

分析：（1）、由同角的余角相等可得∠APB=∠PQC，故△ABP∽△PCQ，有

BP

AB

=

CQ

PC

，代入BP，AB，PC的值求得CQ的值；
（2）、取BP的中點(diǎn)H，連接EH，由三角形的中位線的性質(zhì)可得四邊形EHGF是直角梯形，由

BP

CQ

=2，設(shè)CQ=a，有BP=2a，用含a的代數(shù)式表示出EH，F(xiàn)G，HP，HG，兩用梯形和三角形的面積公式求得S_{四邊形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，
∴∠CPQ+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

BP

AB

=

CQ

PC

，即

2

4

=

CQ

8-2

，
∴CQ=3；

（2）解法一：取BP的中點(diǎn)H，連接EH，由

BP

CQ

=2，
設(shè)CQ=a，則BP=2a，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為AP，PQ，PC，BP的中點(diǎn)，
∴EH∥AB，F(xiàn)G∥CD，
又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴四邊形EHGF是直角梯形，
∴EH=

1

2

AB=2，F(xiàn)G=

1

2

CQ=

1

2

a，HP=

1

2

BP=a，HG=HP+PG=

1

2

BC=4，
∴S_梯形EHGF=

1

2

（EH+FG）•HG=

1

2

（2+

1

2

a）•4=4+a，S_△EHP=

1

2

HP•EH=

1

2

a•2=a，
∴S_{四邊形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP=4+a-a=4；

解法二：連接AQ，由

BP

CQ

=2，設(shè)CQ=a，則BP=2a，DQ=4-a，PC=8-2a，S_△APQ=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=4×8-

1

2

•2a•4-

1

2

（8-2a）a-

1

2

×8（4-a）
=a²-4a+16
∵E，F(xiàn)，G分別是AP，PQ，PC的中點(diǎn)
∴EF∥AQ，EF=

1

2

AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴

S△PEF

S△APQ

=

1

4

，S_△PEF=

1

4

S_△APQ=

1

4

（a²-4a+16）
同理：S_△PFG=

1

4

S_△PCQ=

1

8

a（8-2a）
∴S_{四邊形EPGF}=S_△PEF+S_△PFG
=

1

4

（a²-4a+16）+

1

8

a（8-2a）=4．

點(diǎn)評：本題利用了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形和梯形的面積公式求解．