Question

如圖，已知AE、CE分別是∠BAC、∠ACD的平分線，且∠1+∠2=∠AEC．
（1）試確定直線AB、CD的位置關系；
（2）直線AE、CE互相垂直嗎？若互相垂直，請給予證明；若不互相垂直，說明理由．

Answer 1

解：（1）作∠AEF=∠1，EF交AC于F，如圖
∵∠BAE=∠1，
∴∠BAE=∠AEF，
∴AB∥EF．
∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠FEC=∠2．
又∵∠DCE=∠2，
∴∠FEC=∠DCE，
∴CD∥EF，
∴AB∥CD．

（2）AE⊥CE．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CE．
分析：（1）可作∠AEF=∠1，EF交AC于F，得出AB∥EF，CD∥EF，進而可得出結論；
（2）因為∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，可利用同旁內角互補得∠1+∠2=90°，進而可得垂直關系．
點評：熟練掌握角平分線的性質及平行線的判定，是解本題的關鍵．