Question

（2013•昆山市二模）如圖，把一個斜邊長為2且含有30°角的直角三角形ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△A₁B₁C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積為

11π

12

+

3

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC的長度，設點B掃過的路線與AB的交點為D，連接CD，可以證明△BCD是等邊三角形，然后求出點D是AB的中點，所以△ACD的面積等于△ABC的面積的一半，然后根據(jù)△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，∠B=90°-∠BAC=60°，
∴AC=

AB2-BC2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

3

2

設點B掃過的路線與AB的交點為D，連接CD，
∵BC=DC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=CD=1，
∴點D是AB的中點，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

3

4

，
∴△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，
=

90

360

×π×（

3

）²+

60

360

×π×1²+

3

4

，
=

3

4

π+

1

6

π+

3

4

，
=

11π

12

+

3

4

．
故答案是：

11π

12

+

3

4

點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應關系，利用數(shù)形結(jié)合思想把掃過的面積分成兩個扇形的面積與一個三角形面積是解題的關鍵，也是本題的難點．