Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．
（1）求證：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據翻折變換的性質可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結論；
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，進而得出tan∠ABG的值；
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據tan∠ABG即可得出EH的長，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結論．
解答：（1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG與△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG；

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，設AG=x，則GB=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，即6²+x²=（8-x）²，解得x=，
∴tan∠ABG===；

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位線，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=．
點評：本題考查的是翻折變換、全等三角形的判定與性質、矩形的性質及解直角三角形，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．