Question

【題目】如圖，在中，，、的平分線分別交、于點(diǎn)、，、相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤．其中正確的結(jié)論有( )個(gè)．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有條件易知F為三角形的內(nèi)心，若想證明BE+CD=BC，只能給BE，CD找相等的線段代替，自然想到構(gòu)造全等三角形．

（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，

∴②cos∠BFE＝，正確．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D，E，CE、BD相交于點(diǎn)F，
∴F為三角形的內(nèi)心，
∴④點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等錯(cuò)誤．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正確．
∵△CDF≌△CFH，
∴DF=FH，
∵△FEB≌△HFB，
∴FE=FH
∵DF=FH，F(xiàn)E=FH，
∴DF=FE，△DEF為等腰三角形，
∴∠EDF=∠FED
故③正確．
題目現(xiàn)有的條件不能夠證明①，所以①④錯(cuò)誤．
故選：C．