Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于點E，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求EF的長度；
（2）作CD⊥AB，垂足為D，CD與BE相交于G，試說明：CE=CG；
（3）連接FG，試說明：四邊形CEFG是菱形．

Answer 1

解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，EF⊥AB，垂足為F，
∴EF=CE．
在△BFE與△BCE中，∠C=∠BFE=90°，
，
∴△BFE≌△BCE，
∴BF=BC=8．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴AF=AB-BF=2．
設(shè)EF=x，則CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE²=EF²+AF²，
∴（6-x）²=x²+2²，
解得x=；

（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，
∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG；

（3）∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，
∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，
∴四邊形CEFG是平行四邊形，
又∵CE=CG，
∴?CEFG是菱形．
分析：（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出EF=CE，然后在直角△AEF中，運用勾股定理即可求出EF的長度；
（2）在△CEG中證明∠CEG=∠CGE即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CEFG是平行四邊形，再根據(jù)菱形的定義證明出四邊形CEFG是菱形．
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，等腰三角形的判定及菱形的判定，綜合性較強(qiáng)，難度中等．