Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一個(gè)根為﹣
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：
由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，可知c＜0，
又對(duì)稱軸方程為x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正確；
由圖象可知當(dāng)x=3時(shí)，y＞0，
∴9a+3b+c＞，故②錯(cuò)誤；
由圖象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正確；
假設(shè)方程的一個(gè)根為x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
兩邊同時(shí)乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一個(gè)根為x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而當(dāng)x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假設(shè)成立，故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè)，
故選C．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．