Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動(dòng)，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．
（1）分別求出點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？借助備用圖2說(shuō)明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線l經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？（只要求說(shuō)出條件，不需證明）

Answer 1

解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因?yàn)镻Q∥DC，所以QP=AQ，
當(dāng)x≤12時(shí)，S_AQP=x×x=x²，
當(dāng)x＞12時(shí)，S_梯形=S_ABP+S_{平行四邊形}=48+（x-12）×8，
所以；

（2）
過(guò)C作CT⊥AD于T，過(guò)B作BH⊥AD于H，
即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，
∵BC∥AD，
∴四邊形CBHT是平行四邊形，
∴BC=TH=8，
∵等腰梯形ABCD，
∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，
在△CTD和△BHA中
，
∴△CTD≌△BHA，
∴CT=BH，DT=AH=（20-8）=6，
由勾股定理得：CT=BH=8，
S_梯形=×（BC+AD）×CT=（8+20）×8=112，
當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，
即48+（x-12）•8=56，
解之得，x=13．

（3）如圖所示，
①過(guò)點(diǎn)B作BM∥PQ，
由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，F(xiàn)N=AM=6，ON=PM=1，所以O(shè)F=7=OE．
研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線L經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)且與較短的底（上底）相交時(shí)，它一定平分梯形的面積．
分析：（1）當(dāng)AP≤12時(shí)，只是△AQP的面積，當(dāng)AP＞12時(shí)，為一三角形加一平行四邊形的面積，所以分情況討論．
（2）中先求出梯形的總面積，因?yàn)榭偯娣e的一半大于AP≤12時(shí)的最大面積，所以只能是第二種情況．
（3）可利用中位線，平行四邊形求出OF，再與OE比較大�。�
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)及判定．