【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6;(2)當(dāng)t=3時,△PAB的面積有最大值;(3)點(diǎn)P(4,6).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得;
(2)作PM⊥OB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AG⊥PM,先求出直線AB解析式為y=﹣x+6,設(shè)P(t,﹣t2+2t+6),則N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PNAG+PNBM=PNOB列出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,據(jù)此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,結(jié)合∠DPE=90°知若△PDE為等腰直角三角形,則∠EDP=45°,從而得出點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,求出y=6時x的值即可得出答案.
(1)∵拋物線過點(diǎn)B(6,0)、C(﹣2,0),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+2),
將點(diǎn)A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣,
所以拋物線解析式為y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;
(2)如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AG⊥PM于點(diǎn)G,
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,
將點(diǎn)A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
則直線AB解析式為y=﹣x+6,
設(shè)P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,
則N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PNAG+PNBM
=
=PNOB
=×(﹣t2+3t)×6
=﹣t2+9t
=﹣(t﹣3)2+,
∴當(dāng)t=3時,△PAB的面積有最大值;
(3)如圖2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x軸、PD⊥x軸,
∴∠DPE=90°,
若△PDE為等腰直角三角形,
則∠EDP=45°,
∴∠EDP與∠BDH互為對頂角,即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,
則當(dāng)y=6時,﹣x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即點(diǎn)P(4,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜邊AB,分別交AB、BC于D、E.若∠CAB=∠B+30°,CE=2cm.
求:(1)∠AEB 度數(shù).
(2)BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球這五種球類運(yùn)動的喜愛情況,隨機(jī)抽取一部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)整理并繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)共抽取 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“足球”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)該校共有3000名學(xué)生,請估計(jì)全校學(xué)生喜歡足球運(yùn)動的人數(shù).
(4)甲乙兩名學(xué)生各選一項(xiàng)球類運(yùn)動,請求出甲乙兩人選同一項(xiàng)球類運(yùn)動的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時,它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間,與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速為多少?
(1)設(shè)江水的流速為千米/時,填空:輪船順流航行速度為_________千米/時,逆流航行速度為_________千米/時,順流航行100千米所用時間為_________小時,逆流航行60千米所用時間為_________小時.
(2)列出方程,并求出問題的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】維修一項(xiàng)工程,甲、乙兩隊(duì)合做,天能完成,共付工錢元,甲隊(duì)每天的工錢比乙隊(duì)多元.若兩隊(duì)獨(dú)做,乙隊(duì)工期是甲隊(duì)的倍.
(1)甲、乙兩隊(duì)獨(dú)做各需多少天完成?
(2)若兩隊(duì)獨(dú)做,哪隊(duì)工錢總額較少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓,點(diǎn)D在圓上,在CD的延長線上有一點(diǎn)F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E.
(1)求證:EA是⊙O的切線;
(2)求證:BD=CF.
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【題目】如圖1,以直角三角形的各邊邊邊分別向外作正三角形,再把較小的兩張正三角形紙片按圖2的方式放置在最大正三角形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出( )
A.直角三角形的面積B.較小兩個正三角形重疊部分的面積
C.最大正三角形的面積D.最大正三角形與直角三角形的面積差
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展我市旅游經(jīng)濟(jì),丹東天橋溝景區(qū)對門票采用動態(tài)的售票方法吸引游客,規(guī)定:門票定價為100元/人,非節(jié)假日打折售票,節(jié)假日按團(tuán)隊(duì)人數(shù)分段定價售票,即10人以下(含10人)的團(tuán)隊(duì)按原價售票;超過10人的團(tuán)隊(duì),其中10人仍按原價售票,超過10人部分的游客打折售票。設(shè)某旅游團(tuán)人數(shù)為人,非節(jié)假日購票款為(元),節(jié)假日購票款為(元),、與之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)觀察圖象可知:_______,__________;
(2)直接寫出和的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出自變量的取值范圍);
(3)導(dǎo)游小王10月1日帶團(tuán),10月20日(非節(jié)假日)帶團(tuán)都到天橋溝景區(qū)旅游,共付門票款4600元,、兩個團(tuán)隊(duì)合計(jì)60人,求、兩個團(tuán)隊(duì)各有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的位置如圖所示.
(1)分別寫出以下頂點(diǎn)的坐標(biāo):A( , );B( , ) ;C( , ).
(2)頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)( , ),頂點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)( , ).
(3)求△ABC的面積.
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