Question

已知二次函數y=x²-2mx-m²（m≠0）的圖象與x軸交于點A，B，它的頂點在以AB為直徑的圓上．
（1）證明：A，B是x軸上兩個不同的交點；
（2）求二次函數的解析式；
（3）設以AB為直徑的圓與y軸交于點C，D，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出根的判別式，然后根據根的判別式大于0即可判斷與x軸有兩個交點；
（2）利用根與系數的關系求出AB的長度，也就是圓的直徑，根據頂點公式求出頂點的坐標得到圓的半徑，然后根據直徑是半徑的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函數解析式便不難求出函數解析式；
（3）根據（2）中的結論，求出圓的半徑，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦長，弦CD的長等于半弦的2倍．
解答：解：（1）證明：∵y=x²-2mx-m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-m²）=4m²+4m²=8m²，
∵m≠0，
∴△=8m²＞0，
∴A，B是x軸上兩個不同的交點；

（2）設AB點的坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-=-=2m，x₁•x₂==-m²，
∴AB=|x₁-x₂|===2，
-=-=m，
==-2m²，
∴頂點坐標是（m，-2m²），
∵拋物線的頂點在以AB為直徑的圓上，
∴AB=2（2m²），
即2=2（2m²），
解得m²=，
∴m=±，
∴y=x²-2×x-=x²-x-，或y=x²+2×x-=x²+x-，
即拋物線解析式為：y=x²-x-或y=x²+x-；

（3）根據（2）的結論，圓的半徑為2m²=2×=1，
弦CD的弦心距為|m|=，
∴CD==，
∴CD=2×=．
點評：本題綜合考查了二次函數與x軸的交點的個數的判斷，根與系數關系的應用，以及圓的半徑，弦心距，半弦長構成直角三角形的應用，勾股定理，綜合性較強，但難度不是很大仔細分析求解便不難解決．