Question

如圖，正方形ABCD的三邊中點E、F、G．連ED交AF于M，GC交DE于N，下列結(jié)論：①GM⊥CM；②CD=CM；③四邊形MFCG為等腰梯形；④∠CMD=∠AGM，其中正確的有________•

Answer 1

①②③
分析：要證以上問題，需證CN是DN是垂直平分線，即證N點是DM中點，利用中位線定理即可
解答：∵AG∥FC且AG=FC，
∴四邊形AGCF為平行四邊形，
∴∠GAF=∠FCG=∠DGC，∠AMN=∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM=90°
∴∠EAM+∠AEM=90°
∴∠AME=90°
∴∠GND=90°
∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．
∵G點為AD中點，
∴GN為△ADM的中位線，
即CG為DM的垂直平分線，
∴GM=GD，CD=CM，故②正確；
在△GDC和△GMC中，
∵，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG=∠CMG=90°，
∠MGC=∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正確；
∠MGC=∠FCG，
∴四邊形MFCG為等腰梯形．故③正確；
∵∠CDG=∠CMG=90°，
∴G、D、C、M四點共圓，
∴∠AGM=∠DCM，
∵CD=CM，
∴∠CMD=∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD=90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④錯誤．
故答案為：①②③．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用及等腰梯形的性質(zhì)的運用．在解答中靈活運用正方形的中點問題解決問題，靈活運用了幾何圖形知識解決問題．