Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是否在直線y=x上？如果在，請(qǐng)給出證明；如果不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BP的長(zhǎng)，再由∠BAO=45°判斷出四邊形OAPB是正方形，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）作DE⊥x軸于E，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)P是線段BD的中點(diǎn)即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
∴AC⊥BD，
∴BP=AP=2，
當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，△AOB及△BPA是等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴四邊形OAPB是正方形，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴P（2，2）；

（2）無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是在直線y=x上．
證明：作DE⊥x軸于E，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n）．
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：
∵，
∴△AOB≌△DEA（ASA） 
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n，m）
∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴點(diǎn)P在直線y=x上，即無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．