Question

【題目】如圖所示，二次函數y＝k（x﹣1）2+2的圖象與一次函數y＝kx﹣k+2的圖象交于A、B兩點，點B在點A的右側，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中k＜0．

（1）求A、B兩點的橫坐標；

（2）若△OAB是以OA為腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在， 或．

【解析】

（1）將二次函數與一次函數聯立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，然后求解進一步得出答案即可；

（2）分兩種情況：①OA=AB；②OA=OB，據此分類討論即可；

（3）分兩種情況：①當點B在x軸上方時；②當點B在x軸下方時，據此分類討論即可.

解：（1）將二次函數與一次函數聯立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，

解得：x＝1或2，

故點A、B的坐標橫坐標分別為1和2；

（2）OA＝，

①當OA＝AB時，

即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；

②當OA＝OB時，

4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；

故k的值為：﹣1或﹣2或﹣3；

（3）存在，理由：

①當點B在x軸上方時，

過點B作BH⊥AE于點H，將△AHB的圖形放大見右側圖形，

過點A作∠HAB的角平分線交BH于點M，過點M作MN⊥AB于點N，過點B作BK⊥x軸于點K，

圖中：點A（1，2）、點B（2，k+2），則AH＝﹣k，HB＝1，

設： HM＝m＝MN，則BM＝1﹣m，

則AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，

由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，

即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，

解得：m＝﹣k2﹣k，

在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，

解得：k＝，

此時k+2＞0，則﹣2＜k＜0，故：舍去正值，

故k＝﹣；

②當點B在x軸下方時，

同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝＝-（k+2），

解得：k＝或，

此時k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，

故k的值為：﹣或．