Question

如圖，P、Q分別是正方形ABCD中BC、CD邊上一點，且BC=2，△CPQ的周長等于4，以A為圓心，AB長為半徑作⊙A．
（1）求證：PQ是⊙A的切線．
（2）設PQ的長為x，△CPQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：過A作AE⊥PQ于E，延長QD到F使DF=PB，連接AF、AQ、AP，
∵正方形ABCD的邊長BC=2，△CPQ的周長等于4，
∴CP+CQ+PQ=4，CP+BP+CQ+DQ=4，
∴PQ=DQ+BP，
∵DF=PB，
∴PQ=QF，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF=90°，
∵PQ=PB，
∴△ADF≌△ABP，
∴∠APB=∠F，AP=AF，
∵AP=AF，AQ=AQ，PQ=QF，
∴△APQ≌△AFQ，
∴∠F=∠APE，
∴∠APE=∠APB，
∵∠B=∠AEP=90°，AP=AP，
∴△APB≌△APE，
∴AE=AB=2，
∵AE⊥PQ，
∴PQ是⊙A的切線．

（2）解：∵PQ切圓A于E，DQ切圓A于D，
∴DQ=QE，
同理BP=PE，
CQ+CP=4-（DQ+BP）=4-x，
兩邊平方得：（CQ+CP）²=（4-x）²，
∴CQ²+2CQ•CP+CP²=16-8x+x²，
由勾股定理得：CQ²+CP²=PQ²=x²，
∴CQ•CP=8-4x，
∴y=CQ•CP=4-2x，
∵PB+DQ=PQ=x，
∴CQ+CP=4-x，
∴4-x＞0，且4-x＞x，
∴x＜4且x＜2，
∴x＜2，
答：y與x之間的函數關系式是y=4-2x，自變量x的取值范圍是x＜2．
分析：（1）過A作AE⊥PQ于E，延長QD到F使DF=PB，連接AF、AQ、AP，根據SAS證△ADF≌△ABP，再根據SSS證△APQ≌△AFQ，再根據AAS證△APB≌△APE，推出AE=AB即可；
（2）求出CP+CQ=4-x，根據完全平方公式求出CQ•CP的值，即可求出三角形面積．
點評：本題主要考查對正方形的性質，全等三角形性質和判定，勾股定理，三角形的面積，切線的判定，完全平方公式等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．