【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A(1,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C,與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D,點P是拋物線上一動點.

(1)求拋物線解析式及點D坐標(biāo);

(2)點E在x軸上,若以A,E,D,P為頂點的四邊形是平行四邊形,求此時點P的坐標(biāo);

(3)過點P作直線CD的垂線,垂足為Q,若將CPQ沿CP翻折,點Q的對應(yīng)點為Q.是否存在點P,使Q恰好落在x軸上?若存在,求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)、y=x2+x+2;D(3,2);(2)、P1(0,2);P2,2);P32);(3)、(,),(,

【解析】

試題分析:(1)、用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式,令y=2可得出點D的坐標(biāo);(2)、分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)AE為一邊時,AEPD,當(dāng)AE為對角線時,根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等,求解點P坐標(biāo);(3)、結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a, a2+a+2),分情況討論,當(dāng)P點在y軸右側(cè)時,當(dāng)P點在y軸左側(cè)時,運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

試題解析:(1)、拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(1,0),B(4,0)兩點,,

解得:y=x2+x+2;當(dāng)y=2時, x2+x+2=2,解得:x1=3,x2=0(舍去),

即:點D坐標(biāo)為(3,2).

(2)、A,E兩點都在x軸上,AE有兩種可能:

當(dāng)AE為一邊時,AEPD, P1(0,2),

當(dāng)AE為對角線時,根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等,

可知P點、D點到直線AE(即x軸)的距離相等,

P點的縱坐標(biāo)為2, 代入拋物線的解析式: x2+x+2=2 解得:x1=,x2=,

P點的坐標(biāo)為(2),(,2)

綜上所述:P1(0,2);P2,2);P3,2).

(3)、存在滿足條件的點P,顯然點P在直線CD下方,設(shè)直線PQ交x軸于F,點P的坐標(biāo)為(a, a2+a+2),

當(dāng)P點在y軸右側(cè)時(如圖1),CQ=a,PQ=2a2+a+2)=a2a,

∵∠CQO+FQP=90°,COQ=QFP=90°,∴∠FQP=OCQ,

∴△COQ′∽△QFP,,QF=a3,

OQ=OFQF=a(a3)=3,CQ=CQ==,

此時a=,點P的坐標(biāo)為(,),

當(dāng)P點在y軸左側(cè)時(如圖2)此時a<0, a2+a+2<0,CQ=a,

PQ=2a2+a+2)=a2a,又∵∠CQO+FQP=90°CQO+OCQ=90°,

∴∠FQP=OCQCOQ=QFP=90°,

∴△COQ′∽△QFP,,,QF=3a,OQ=3,

CQ=CQ==,此時a=,點P的坐標(biāo)為(,).

綜上所述,滿足條件的點P坐標(biāo)為(),(,).

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