Question

【題目】（給出定義）

數(shù)軸上順次有三點(diǎn)A、C、B,若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的3倍,我們就稱點(diǎn)C是(A、B)的“夢(mèng)想點(diǎn)”例如:圖①中,點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為-2、2,表示數(shù)1的點(diǎn)C是(A、B)的“夢(mèng)想點(diǎn)”；圖②中,點(diǎn)A、B表示對(duì)的數(shù)分別為-2、2，表示-1的點(diǎn)C是(B、A)的“夢(mèng)想點(diǎn).

（解決問題）

(1)若數(shù)軸上M、N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為且滿足求出(M、N)的“夢(mèng)想點(diǎn)”表示的數(shù)；

(2)如圖③,在數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為-15和65,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng):

①若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止,則當(dāng)P、A、B中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩個(gè)點(diǎn)的“夢(mèng)想點(diǎn)”時(shí),求這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)；

②若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B后,繼續(xù)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)的過程中,是否還存在點(diǎn)P、A、B中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的“夢(mèng)想點(diǎn)”的情況?若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）-1；

（2）①45或5；②存在，B是（A，P）的夢(mèng)想點(diǎn)時(shí)，以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 ；B是(P，A)的夢(mèng)想點(diǎn)時(shí)，以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為640.

【解析】

（1）由絕對(duì)值的非負(fù)性求出m、n的值，然后設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”的定義列出方程，解方程即可；

（2）①根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”的定義可知分2種情況：P為（A,B）的夢(mèng)想點(diǎn)；P為(B，A)的夢(mèng)想點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，根據(jù)夢(mèng)想點(diǎn)的定義列出方程，進(jìn)而得出P點(diǎn)表示的數(shù)；

②假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”的定義可知分2種情況：B是(A，P)的夢(mèng)想點(diǎn)；B是(P，A)的夢(mèng)想點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，根據(jù)夢(mèng)想點(diǎn)的定義列出方程，進(jìn)而得出P點(diǎn)表示的數(shù)，進(jìn)而求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)即可.

（1）∵|m+7|+2|n-1|=0，

∴m=-7，n=1.

設(shè)所求數(shù)為x，由題意得

x（-7）=3（1-x），

解得x=-1；

（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，分兩種情況：

P是（A，B）的夢(mèng)想點(diǎn)，

由題意，得y-（-15）=3×（65-y），

解得y=45；

P是（B，A）的夢(mèng)想點(diǎn)，

由題意，得65-y=3[y-（-15）]，

解得y=5；

故這個(gè)點(diǎn)P表示的數(shù)為45或5；

②B是（A，P）的夢(mèng)想點(diǎn)，

由題意，得65（-15）=3（y65），

解得y=,

PA=65（-15）=80，PB= 65= ，

此時(shí)以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：2×（80+）= ；

B是(P，A)的夢(mèng)想點(diǎn)，

由題意得y65=3[65（-15）]

y=305，

PA=65（-15）=80，PB=30565=240，

此時(shí)以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為:2×(80+240)=640.

若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B后,繼續(xù)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)的過程中,存在點(diǎn)P、A、B中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的“夢(mèng)想點(diǎn)”的情況，B是（A，P）的夢(mèng)想點(diǎn)時(shí)，以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 ；B是(P，A)的夢(mèng)想點(diǎn)時(shí)，以PA、PB為鄰邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為640.