Question

閱讀并回答問(wèn)題：
小亮是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)新的同學(xué)．一天他在解方程x²=-1時(shí)，突發(fā)奇想：x²=-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i，使 i²=-1，那么當(dāng)x²=-1時(shí)，有x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個(gè)根．
據(jù)此可知：（1）i可以運(yùn)算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，則i⁴=______，i²⁰¹¹=______，i²⁰¹²=______；
（2）方程x²-2x+2=0的兩根為_(kāi)_____（根用i表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù) i²=-1可將i⁴化為i²•i²；i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i；i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)-1=i²求出△的值，再由公式法求出x的值即可．
解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i=（-1）¹⁰⁰⁵•i=-i；
i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i=（-1）¹⁰⁰⁶•i=i．
故答案為：1，-i，1．

（2）∵△=（-2）²-4×1×2=-4，i²=-1，
∴△=4i²，
∴方程x²-2x+2=0的兩根為x==1±i，即x=1+i或x=1-i．
故答案為：1+i或1-i．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用公式法求一元二次方程的根，先根據(jù)題中所給的材料記住i²=-1是解答此題的關(guān)鍵．