Question

【題目】四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)．且滿足BP⊥PC，現(xiàn)將點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值=_____．

Answer 1

【答案】2+2 ．

【解析】

如圖： 由BP⊥CP可知點(diǎn)P在以BC中點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上，⊙O繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°后為⊙O′，則P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q在⊙O′上，所以CO′的延長(zhǎng)線與⊙O′的交點(diǎn)是CQ的最大值，過O′作O′E⊥CD延長(zhǎng)線于E，通過證明△DEO′≌△DOC可求出DE、EO′的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出CO′的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CQ的長(zhǎng)即可.

如圖：⊙O旋轉(zhuǎn)90°得⊙O′，連接CO′交⊙O′于Q，則CQ即為所求，過O′作O′E⊥CD延長(zhǎng)線于E，

∵BP⊥CP，

∴P點(diǎn)在在以BC中點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上，

∵⊙O′是⊙O旋轉(zhuǎn)90°所得，

∴OD=O′D，

在△DEO′和△CDO中，∠DEO′=∠OCD=90°，∠DO′E=∠ODC，OD=O′D，

∴△DEO′≌△DOC，

∴DE=OC=2，EO′=CD=4，CE=6，

∴CO′= = ，

∴CQ=2+.

故答案為：2+