Question

如圖所示，拋物線m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C.將拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C_1，與x軸的另一個交點為A₁.

1.當a=－1 , b=1時，求拋物線n的解析式；

2.四邊形AC₁A₁C是什么特殊四邊形，請寫出結果并說明理由；

3.若四邊形AC₁A₁C為矩形，請求出a和b應滿足的關系式.

 

Answer 1

 

1.當時，拋物線的解析式為：.

令，得：.         ∴C（0,1）.

令，得：.        ∴A（-1,0），B（1,0）

    ∵C與C₁關于點B中心對稱， ∴C₁（2, -1）.

∴拋物線的解析式為： 

2.四邊形AC₁A₁C是平行四邊形.              

 理由：∵C與C₁、A與A₁都關于點B中心對稱，

∴,     ∴四邊形AC₁A₁C是平行四邊形.

3.令，得：.     ∴C（0,）.

令，得：,   ∴,

     ∴,  ∴.

要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足,

∴，    ∴，

        ∴.         ∴應滿足關系式.

解析:

1.根據(jù)a=-1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C₁關于點B中心對稱，得出二次函數(shù)的頂點坐標，即可得出答案；

2.利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明；

3.利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．