Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交與點D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線BD與⊙O的位置關(guān)系是相切

（2）

【解析】

分析：（1）連接OD，DE，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，平角的性質(zhì)得出∠ODB=90°，根據(jù)切線的判定推出即可。

（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可。

解：（1）直線BD與⊙O的位置關(guān)系是相切，證明如下：

連接OD，DE。

∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°。

∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。

∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，。

∴∠ADO+∠CDB=90°。

∴∠ODB=180°﹣90°=90°�！郞D⊥BD。

∵OD為半徑，∴BD是⊙O切線。

（2）∵AD：AO=6：5，∴AD：AB=6：10。

∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10。

∵AE是直徑，∴∠ADE=∠C=90°。

∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△ACB。

∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10。

∵BC=3，∴BD=