Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．F是腰AB上的一點(diǎn)，且EF⊥AB、連接DE，DF．
（1）求證：△BEF∽△BAG；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)BE=x．△DEF的面積為y．①請(qǐng)你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大（�。┲担�

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明△BEF∽△BAG，有“兩對(duì)角相等，兩三角形全等”得出結(jié)論；
（2）根據(jù)△BEF∽△BAG，得出BF=x，EF=x，作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，求得DM，分別表示出△ADF、△BEF、△DCE的面積，再用梯形ABCD的面積減去△ADF、△BEF、△DCE的面積之和，即是所求三角形的面積，利用二次函數(shù)的最值問題求出y的最大值．
解答：解：（1）∵AG⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AGB=∠EFB=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAG；

（2）∵△BEF∽△BAG，
∴BF=x，EF=x，
作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，
∴=，
∴DM=，
∴S_△DAF=8-，
∵S_梯形ABCD=28，S_△DEC=20-2x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△BEF-S_△DEC-S_△DAF=-x²+x，
∵當(dāng)點(diǎn)F于點(diǎn)A重合時(shí)BF最長，此時(shí)x=5，解得x=，
∴0＜x≤，
∴當(dāng)x=，y有最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用以及二次函數(shù)的最值問題，難度較大．