Question

閱讀理解：通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小，與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類(lèi)似地，可以在等腰三角形中，建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比叫做頂角正對(duì)（sad）。如圖1，在⊿ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=。容易知道一個(gè)角的大小，與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的。根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

1.計(jì)算：sad60°=  ▲  

2.對(duì)于0°＜A＜90°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是  ▲   ；

3.如圖2，已知△DEF中，∠E=90°，cosD=，試求sadD的值。

 

Answer 1

【答案】

 

1.根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°=1/1 =1

2.當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．

3.解法一：延長(zhǎng)DE到M，使DM=DF，連接FM   ………………………  7分

在Rt△DEF中，設(shè)DE=4k，則DF=5k，

EF= ………………… 8分

∴ME=5k-4k=k

在Rt△EFM中，F(xiàn)M=   …  10分

∴sadD=  ……………………………………………………   12分

解法二：在Rt△DEF中，設(shè)DE=4k，則DF=5k，EF= ……… 7分

在DF上截取DN=DE=4k，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥DE于H，連接EN  …………………… 8分

則FN=k

∵△DNH∽△DFE    ∴

∴HN=，DH= 

∴EH=4k-=，

EN=   …………… 10分

∴ ………………………………………………   12分

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；

（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)正對(duì)的定義解答．