Question

【題目】如圖，頂點為（1，4）的拋物線 與直線 交于點A(2,2),直線 與 軸交于點B與 軸交于點C.

（1）求 的值及拋物線的解析式
（2）P為拋物線上的點，點P關(guān)于直線AB的對稱軸點在 軸上，求點P的坐標
（3）點D為 軸上方拋物線上的一點，點E為軸上一點，以A 、B、E、D為頂點的四邊為平行四邊形時，直接寫出點E的坐標。

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（2，2）代入y=x+n得n=1;

設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a+4;

代入點A（2，2），可得a=-2;

所以拋物線的解析式y(tǒng)=-2+4=-2+4x+2;

（2）

解：如圖1.設(shè)PP′與AC的交點為H，作HM⊥x軸于M，作PN⊥HM于N

設(shè)P(x,-2+4x+2),H(m,m+1)

∵H是PP′的中點，

∴NM=2HM;

∴-2+4x+2=m+2;

∴m=-2+4x ①;

又∵,NH=HM;

∴HM=2PN;

∴m+1=2(m-x),

∴4x=3m-2 ②;

聯(lián)立① ②解得x=1或x=，

∴點P的坐標（1，4）(如圖2）或（如圖3）

圖1 圖2 圖3

（3）

解：設(shè)點E坐標為(t,0)，以AB為邊或?qū)�角線進行分類討論：

①如圖4，當AB是平行四邊行的邊時，AB//DE,AB=DE;

∵點B(0,1)先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到A(2,2),

∴D(t+2，1）；

將D(t+2，1）代入y=-2+4，得-2+4=1;

解得t=或t=，

∴E(,0)(如圖6）或E（，0）（如圖5）

②如圖7，當AB是平行四邊形的對角線時，設(shè)AB的中點G(1,)，點E(t,0);

∴E關(guān)于G(1,)的對稱點D的坐標可以表示為(2-t,3)

將D(2-t,3)代入y=-2+4，得-2+4=3;

解得t=或t=，

∴E(,0)（如圖9）或E(,0)如圖(5）

圖4 圖5 圖6

【解析】(1)將A（2，2）代入y=x+n從而求出直線解析式，將拋物線解析式設(shè)成頂點坐標y=a+4代入A(2,2)從而求出拋物線解析式。
(2)如圖1，設(shè)PP′與AC的交點為H，作HM⊥x軸于M，作PN⊥HM于N；由題意可列出方程組m=-2+4x ①;4x=3m-2 ②，聯(lián)立即可得出答案。
(3)設(shè)點E坐標為(t,0)，以AB為邊或?qū)�角線進行分類討論即可得出答案。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩點間的距離的相關(guān)知識，掌握同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記，以及對菱形的性質(zhì)的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．