Question

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，4），與x軸交于B、C兩點．其中OB、OC是方程的x²-10x+16=0兩根，且OB＜OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AC上是否存在點D，使△BCD為直角三角形．若存在，求所有D點坐標(biāo)；反之說理；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點（A點除外），連PA、PC，若設(shè)△PAC的面積為S，P點橫坐標(biāo)為t，則S在何范圍內(nèi)時，相應(yīng)的點P有且只有1個．

Answer 1

分析：（1）先求出B、C兩點坐標(biāo)，再將A、B、C三點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再分兩種情況討論即可求解；
（3）分別求出P在拋物線AC上面積的最大值，求出P在拋物線AB上面積的最大值，依此即可求出S的取值范圍．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，
得x₁=2，x₂=8，
則B（-2，0），C（8，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線得，

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 1 4 b=1 1 2 c=4

故拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A、C兩點坐標(biāo)代入得，

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

故直線AC的解析式為y=-

1

2

x+4；
直線AC上存在點D，使△BCD為直角三角形：
①∠DBC=90°時，x=-2，y=-

1

2

×（-2）+4=5，則D點坐標(biāo)為（-2，5）；
②∠BDC=90°時，設(shè)直線BD的解析式為y=2x+b₁，則2×（-2）+b₁=0，解得b₁=4，故直線AC的解析式為y=2x+4；
聯(lián)立兩條直線的解析式

y=- 1 2 x+4 y=2x+4

，解得

x=0 y=4

，則D點坐標(biāo)為（0，4）；
綜上所述D點坐標(biāo)為（-2，5）或（0，4）；

（3）P在拋物線AC上面積的最大值為16，P在拋物線AB上面積的最大值為20，
則S的取值范圍為16＜S＜20．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)和拋物線的解析式等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練．