精英家教網(wǎng)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,-3),設(shè)拋物線的頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標;
(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎?為什么?
(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請指出符合條件的點P的位置,并直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知了拋物線圖象上的三點坐標,可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式,進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標.
(2)根據(jù)B、C、D的坐標,可求得△BCD三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可.
(3)假設(shè)存在符合條件的P點;首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點O符合P點的要求,因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長,也就得到了點P的坐標.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
由拋物線與y軸交于點C(0,-3),可知c=-3,
即拋物線的解析式為y=ax2+bx-3,
把A(-1,0)、B(3,0)代入,
a-b-3=0
9a+3b-3=0

解得a=1,b=-2.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3,
∴頂點D的坐標為(1,-4).

(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形,
理由如下:
過點D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=18,
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=2,
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=20,
∴BC2+CD2=BD2,故△BCD為直角三角形.

(3)連接AC,則容易得出△COA∽△CAP,又△PCA∽△BCD,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合條件的點為O(0,0).
過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合條件的點為P1(0,
1
3
)

過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合條件的點為P2(9,0).
∴符合條件的點有三個:O(0,0),P1(0,
1
3
)
,P2(9,0).
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,(3)題中能夠發(fā)現(xiàn)點O是符合要求的P點,是解決此題的突破口.
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(2)點M是線段AB上的一個動點,過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,當△CMN的面積最大時,求點M的坐標;
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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10
+5
10
+5

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(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,連接MA、MC,當△MAC的周長最小時,求點M的坐標;
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,直接寫出所有滿足條件的點F的坐標,若不存在,請說明理由.

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