【題目】如圖,已知二次函數(shù)y= x2+ x﹣ 的圖象與x軸交于點 A,B,交 y 軸于點 C,拋物線的頂點為 D.

(1)求拋物線頂點 D 的坐標以及直線 AC 的函數(shù)表達式;
(2)點 P 是拋物線上一點,且點P在直線 AC 下方,點 E 在拋物線對稱軸上,當△BCE 的周長最小時,求△PCE 面積的最大值以及此時點 P 的坐標;
(3)在(2)的條件下,過點 P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點 M,交 y 軸于點N,把拋物線y= x2+ x﹣ 沿對稱軸上下平移,平移后拋物線的頂點為 D',在平移的過程中,是否存在點 D',使得點 D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形,若存在,直接寫出點 D'的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:y= x2+ x﹣ = (x+1)2 ,頂點D的坐標為(﹣1,﹣ ),

當y=0時, x2+ x﹣ =0,解得x1=﹣3,x2=1,

∴A(﹣3,0),B(1,0).

當x=0時,y=﹣

∴C(0,﹣ ),

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣


(2)解:∵△CPE得周長為BC+CE+BE,其中BC的長是固定的,

∴周長取得最小值就是BE+CE取得最小值,

∵點E是拋物線對稱軸上一點,

∴BE=AE,

∴BE+CE=AE+CE,

∴BE+CE的最小值是AC,點E是AC與對稱軸的交點.

∴點E為(﹣1,﹣ ).

∵點P是拋物線上x軸下方一點,設(shè)點P為(t, t2+ t﹣ ).且 t2+ t﹣ <0.

過點P作QP⊥x軸交直線AC于點Q,點Q坐標為(t,﹣ t﹣ ).

當點p在對稱軸左側(cè)時,SPCE=SPCQ﹣SPEQ= PQ(0﹣t)﹣ PQ(﹣1﹣t)= PQ,

當點P在對稱軸的右側(cè)時,SPCE=SPCQ+SPEQ= PQ(0﹣t)+ PQ[t﹣(﹣1)]= PQ,

∵PQ=(﹣ t﹣ )﹣( t2+ t﹣ )=﹣ t2 t,

∴SPCE= PQ=﹣ t2 t=﹣ (t+ 2+

當t=﹣ 時,△PEC的面積最大,最大值是 ,此時,點P的坐標為(﹣ ,﹣


(3)解:經(jīng)過點P且平行于AC的直線MN的解析式為y=﹣ x﹣ ,

當x=0時,y=﹣ ,即N(0,﹣ ),當y=0時,x=﹣ ,即M(﹣ ,0),

設(shè)點D′的坐標為(﹣1,d),則MN2=(﹣ 2+(﹣ 2= ,MD′2=[﹣ ﹣(﹣1)]2+d2= +d2,ND′2=(﹣1)2+(﹣ ﹣d)2=d2+ d+

當∠MD′N=90°時,MD′2+ND′2=MN2,即 +d2+d2+ d+ = ,

整理,得4d2+7 d﹣17=0,解得d1= ,d2= ,

當∠NMD′=90°時,MD′2=ND′2+MN2,即 +d2=d2+ d+ + ,

化簡,得 d=﹣ ,解得d=﹣ ,

當∠NMD′﹣90°時,ND′2=MD′2+MN2,即d2+ d+ = +d2+ ,

化簡,得 d= ,解得d= ,

∴存在點 D',使得點 D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形,D′點的坐標為(﹣1, )(﹣1, ),(﹣1, )(﹣1


【解析】(1)利用配方法可配成頂點式,求出頂點坐標;(2)△BCE 的周長最小,即CE+BE最小,由對稱法可求得點E在AC與對稱軸的交點處時,△BCE 的周長最小,△PCE 面積的最大值可運用函數(shù)思想,設(shè)點P的橫坐標為t,其縱坐標用t的代數(shù)式表示,作出x軸垂線,把△PCE 分割為兩個有豎直邊的三角形,構(gòu)建關(guān)于面積的函數(shù),配成頂點式求出最值;(3)D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形須分類討論:∠MD′N=90°或∠NMD′=90°或∠NMD′﹣90°,利用勾股定理列出方程.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】閱讀下列兩則材料,回答問題,材料一:定義直線yax+b與直線ybx+a互為“共同體直線”,例如,直線yx+4與直線y4x+l互為“共同體直線”.

材料二:對于半面直角坐標系中的任意兩點P1x1,y1)、P2x2,y2),P1、P2之兩點間的直角距離d1P1,p2)=|x1x2|+|y1y2|:例如:Q1(﹣3,1)、Q22.4)兩點間的直角距離為dQ1,Q2)=|32|+|14|8; P0x0,y0)為一個定點,Qx,y)是直線yax+b上的動點,我們把dP0,Q)的最小值叫做Po到直線yax+b的直角距離.

1)計算S(﹣2,6),T1,3)兩點間的直角距離dS,T)=   ,直線y4x+3上的一點Ha,b)又是它的“共同體直線”上的點,求點H的坐標.

2)對于直線yax+b上的任意一點Mm,n),都有點N3m,2m3n)在它的“共同體直線”上,試求點L10,﹣)到直線yax+b的直角距離.

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【題目】春暖花開,市民紛紛外出踏青,某種品牌鞋專賣店抓住機遇,利用10周年店慶對其中暢銷的M款運動鞋進行促銷,M款運動鞋每雙的成本價為800元,標價為1200元.
(1)M款運動鞋每雙最多降價多少元,才能使利潤率不低于20%;
(2)該店以前每周共售出M款運動鞋100雙,2017年3月的一個周末,恰好是該店的10周年店慶,這個周末M款運動鞋每雙在標價的基礎(chǔ)上降價 m%,結(jié)果這個周末賣出的M款運動鞋的數(shù)量比原來一周賣出的M款運動鞋的數(shù)量增加了 m%,這周周末的利潤達到了40000元,求m的值.

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【題目】某電器超市銷售每臺進價分別為2000元、1700元的、兩種型號的空調(diào),如表是近兩周的銷售情況:

銷售時段

銷售數(shù)量

銷售款

種型號

種型號

第一周

4

5

20500

第二周

5

10

33500

1)求、兩種型號的空調(diào)的銷售單價;

2)求近兩周的銷售利潤.

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【題目】計算能力是數(shù)學(xué)的基本能力,為了進一步了解學(xué)生的計算情況,初2020級數(shù)學(xué)老師們對某次考試中第19題計算題的得分情況進行了調(diào)查,現(xiàn)分別從AB兩班隨機各抽取10名學(xué)生的成績?nèi)缦拢?/span>

A10名學(xué)生的成績繪成了條形統(tǒng)計圖,如下圖,

B10名學(xué)生的成績(單位:分)分別為:9,8,9,10,9,7,9,8,10,8

經(jīng)過老師對所抽取學(xué)生成績的整理與分析,得到了如下表數(shù)據(jù):

A

B

平均數(shù)

8.3

a

中位數(shù)

b

9

眾數(shù)

810

c

極差

4

3

方差

1.81

0.81

根據(jù)以上信息,解答下列問題.

1)補全條形統(tǒng)計圖;

2)直接寫出表中a,bc的值:a   ,b   ,c   ;

3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認為AB兩個班哪個班計算題掌握得更好?請說明理由(寫出其中兩條即可):   

4)若9分及9分以上為優(yōu)秀,若A班共55人,則A班計算題優(yōu)秀的大約有多少人?

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【題目】已知直線l:y=kx和拋物線C:y=ax2+bx+1.
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(i)求此拋物線的解析式;
(ii)若P是此拋物線上任一點,過點P作PQ∥y軸且與直線y=2交于點Q,O為原點,求證:OP=PQ.

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【題目】矩形ABCD中,AB=4BC=3,點EAB的中點,將矩形ABCD沿CE折疊,使得點B落到點F的位置.

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