【題目】閱讀下列兩則材料,回答問(wèn)題,材料一:定義直線y=ax+b與直線y=bx+a互為“共同體直線”,例如,直線y=x+4與直線y=4x+l互為“共同體直線”.
材料二:對(duì)于半面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P1、P2之兩點(diǎn)間的直角距離d1(P1,p2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|:例如:Q1(﹣3,1)、Q2(2.4)兩點(diǎn)間的直角距離為d(Q1,Q2)=|﹣3﹣2|+|1﹣4|=8; P0(x0,y0)為一個(gè)定點(diǎn),Q(x,y)是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn),我們把d(P0,Q)的最小值叫做Po到直線y=ax+b的直角距離.
(1)計(jì)算S(﹣2,6),T(1,3)兩點(diǎn)間的直角距離d(S,T)= ,直線y=4x+3上的一點(diǎn)H(a,b)又是它的“共同體直線”上的點(diǎn),求點(diǎn)H的坐標(biāo).
(2)對(duì)于直線y=ax+b上的任意一點(diǎn)M(m,n),都有點(diǎn)N(3m,2m﹣3n)在它的“共同體直線”上,試求點(diǎn)L(10,﹣)到直線y=ax+b的直角距離.
【答案】(1)d(S,T)=7,H(1,7);(2)10.
【解析】
(1)根據(jù)題中所給出的兩點(diǎn)的直角距離公式即可得出結(jié)論;求兩條直線的交點(diǎn)即可求H點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)先表示直線y=ax+b的“共同體直線”,并將點(diǎn)M和N分別代入可得方程組,得:(3b+3a﹣2)m=﹣a﹣3b,對(duì)于任意一點(diǎn)M(m,n)等式均成立,求出a,b的值,再根據(jù)題意得出關(guān)于x的式子,再由絕對(duì)值的幾何意義即可得出結(jié)論.
解:(1)∵S(﹣2,6)、T(1,3)則S、T兩點(diǎn)的直角距離為d(S,T)=|﹣2﹣1|+|6﹣3|=7,
∴S(﹣2,6)、T(1,3)兩點(diǎn)間的直角距離d(S,T)=7.
直線y=4x+3的“共同體直線”是y=3x+4,由題意知H是它們的交點(diǎn),則有:,
解得,
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為:H(1,7);
(2)∵點(diǎn)M(m,n)是直線y=ax+b上的任意一點(diǎn),
∴am+b=n①,
∵點(diǎn)N(3m,2m﹣3n)是直線y=ax+b的“共同體直線”上的一點(diǎn),
即N(3m,2m﹣3n)在直線y=bx+a上
∴3bm+a=2m﹣3n②,
將①代入②得,3bm+a=2m﹣3(am+b),
整理得:3bm+3am﹣2m=﹣a﹣3b,
∴(3b+3a﹣2)m=﹣a﹣3b,
∵對(duì)于任意一點(diǎn)M(m,n)等式均成立,
∴,
解得,
.
是直線上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)
,
,,
當(dāng)時(shí),代數(shù)式有最小值10,
點(diǎn)到直線的直角距離是10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖,△ABC是 的內(nèi)接等邊三角形,AB=1.點(diǎn)D , E在圓上,四邊形 為矩形,則這個(gè)矩形的面積是( )
A.
B.
C.
D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線C:y=x2+bx+c 交 軸于點(diǎn)A(0,-1)且過(guò)點(diǎn) , P是拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PB∥OA,以P為圓心,2為半徑的圓交PB于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)D位于點(diǎn)C下方).
(1)求拋物線C的解析式;
(2)連接AP交⊙P于點(diǎn)E,連接DE,AC.若ΔACP是以CP為直角邊的直角三角形,求∠EDC的度數(shù);
(3)若當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)拋物線C上所有的點(diǎn)后,點(diǎn)D隨之經(jīng)過(guò)的路線被直線 截得的線段長(zhǎng)為8,求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
(1)計(jì)算: ÷ ;
(2)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求證:△EBF∽△FCG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著“西成高鐵”的開(kāi)通,對(duì)于加強(qiáng)關(guān)中一天水經(jīng)濟(jì)區(qū)與成渝經(jīng)濟(jì)區(qū)的交流合作,促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展和提高人民出行質(zhì)量,具有十分重要的意義.成都某單位組織優(yōu)秀員工利用周末乘坐“西成高鐵”到西安觀光旅游,計(jì)劃游覽著名景點(diǎn)“大唐芙蓉園”.已知該景區(qū)團(tuán)體票價(jià)格設(shè)置如下:
人數(shù)/人 | 10人以內(nèi)(含10人) | 超過(guò)10人但不超過(guò)30人的部分 | 超過(guò)30人的部分 |
單價(jià)(元/張) | 120 | 100 | 90 |
(1)求團(tuán)體票總費(fèi)用y(元)與游覽人數(shù)x(人)之間的關(guān)系式;
(2)若該單位購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票共花費(fèi)4100元,且所有人都購(gòu)買(mǎi)了門(mén)票,那么該單位共有多少人游覽了“大唐芙蓉園”?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,CF與BE交于點(diǎn)D.有下列結(jié)論:
①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上;④點(diǎn)C在AB的中垂線上.
以上結(jié)論正確的有( )個(gè).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△EBC是等邊三角形.
(1)求證:△ABE≌△DCE;
(2)求∠AED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)D是OA中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)△ODP的面積S=________.
(2)t為何值時(shí),四邊形PODB是平行四邊形?
(3)在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得ODQP為菱形?若存在,求t的值,并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若△OPD為等腰三角形,請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案,不必寫(xiě)過(guò)程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y= x2+ x﹣ 的圖象與x軸交于點(diǎn) A,B,交 y 軸于點(diǎn) C,拋物線的頂點(diǎn)為 D.
(1)求拋物線頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)以及直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn) P 是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)P在直線 AC 下方,點(diǎn) E 在拋物線對(duì)稱軸上,當(dāng)△BCE 的周長(zhǎng)最小時(shí),求△PCE 面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn) P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點(diǎn) M,交 y 軸于點(diǎn)N,把拋物線y= x2+ x﹣ 沿對(duì)稱軸上下平移,平移后拋物線的頂點(diǎn)為 D',在平移的過(guò)程中,是否存在點(diǎn) D',使得點(diǎn) D',M,N 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn) D'的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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