Question

如圖所示．P是⊙O外一點(diǎn)．PA是⊙O的切線．A是切點(diǎn)．B是⊙O上一點(diǎn)．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點(diǎn)Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證： AQ?PQ= OQ?BQ； 
（3）設(shè)∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的長

Answer 1

（1）證明：連接OP，與AB交與點(diǎn)C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP，
∴，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵，
∴PQ=45，即PA=36，∴OP=；∵PA、PB是⊙O的切線，∴OP⊥AB，AC=BC，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，∴AC=，故AB=

此題考核圓的切線，相似三角形的判定和性質(zhì)