Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（    ,   ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（    ,    ）；
（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長(zhǎng)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在

因?yàn)椤鱋AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，所以O(shè)B=OC=1，OA=OD=2所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，0) ……………… 2分
（2）方法一：由（1）可知CD＝＝，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法二：設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b
由（1）得
解得
∴直線CD的解析式為y＝ x＋1
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法三
∵ ∴  
∴M的坐標(biāo)為(，)                                    ………………2分
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，則ME＝，BE＝
∴BM＝＝                             ………………2分
（3）存在                
分兩種情況討論：
① 以BM為腰時(shí)
∵BM＝，又點(diǎn)P在y軸上，且BP＝BM
時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∵∠BMC＝90°，
則△BME∽△BCM
∴＝
∴BE＝＝
又∵BM＝BP
∴PE＝BE＝
∴BP＝
∴OP＝2－＝
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₃ (0，)          ……………1分
② 以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，
由（2）得∠BMC＝90°，
∴PF∥CM
∵F是BM的中點(diǎn)，
∴BP＝BC＝
∴OP＝
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₄ (0，) ……………… 1分
綜上所述點(diǎn)P有四個(gè)：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)