【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,﹣2),頂點為D,點E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線于BE交于另一點F,連接BC
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度沿平行于y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),點M在運動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明利由.
【答案】
(1)
解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,﹣2)代入得a(﹣1)(﹣3)=﹣2,解得a=﹣ ,
所以拋物線解析式為y=﹣ (x﹣1)(x﹣3),即y=﹣ x2+ x﹣2
(2)
解:設(shè)直線BE的解析式為y=mx+n,
把B(3,0),E(0,﹣1)代入得 ,解得 ,
∴直線BE的解析式為y= x﹣1,
同樣方法可求得直線BC的解析式為y= x﹣2,
解方程組 得 或 ,則F( ,﹣ );
當(dāng)x=1時,y= ﹣2=﹣ ,則H(1,﹣ ),
連接AH交BE于Q,如圖1,∵A(1,0),H(1,﹣ ),
∴AH⊥x軸,
∴Q(1,﹣ ),
∴HQ=﹣ + = ,
∴S△FHB=S△BHQ+S△FHQ= × ×(3﹣ )
(3)
解:當(dāng)x=2時,y=﹣ x2+ x﹣2= ,則D(2, ),
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,
直線x=2交x軸于N,如圖2,MN=t+ ,ON=2,BN=1,
∵∠OMB=90°,即∠OMN+∠BMN=90°,
而∠OMN+∠MON=90°,
∴∠MON=∠BMN,
∴Rt△OMN∽Rt△MBN,
∴MN:BN=ON:MN,即MN2=BNON,
∴(t+ )2=1×2,解得t1= ﹣ ,t2=﹣ ﹣ (舍去),
∴當(dāng)t為 ﹣ 時,∠OMB=90°;
(4)
解:存在.
如圖3,BP交y軸于G,
∵AB平分∠FBP,
∴∠GBO=∠EOB,
∴點G與點E關(guān)于x軸對稱,
∴G(0,1),
設(shè)直線BG的解析式為y=px+q,
把G(0,1),B(3,0)代入得 ,解得 ,
∴直線BQ的解析式為y=﹣ x+1,
解方程組 得 或 ,
∴P點坐標(biāo)為( , ).
【解析】(1)設(shè)交點式拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),然后把C點坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式;(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式為y= x﹣1,直線BC的解析式為y= x﹣2,再解方程組 得F( ,﹣ );接著確定H(1,﹣ ),連接AH交BE于Q,如圖1,利用點A和H的橫坐標(biāo)特征得到AH⊥x軸,所以Q(1,﹣ ),然后利用三角形面積公式,利用S△FHB=S△BHQ+S△FHQ進(jìn)行計算;(3)先求出D(2, ),直線x=2交x軸于N,如圖2,證明Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN2=BNON,即(t+ )2=1×2,然后解方程即可;(4)如圖3,BP交y軸于G,利用AB平分∠FBP得到點G與點E關(guān)于x軸對稱,則G(0,1),再利用待定系數(shù)法求出直線BQ的解析式為y=﹣ x+1,然后解方程組 即可得到P點坐標(biāo).
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【題目】閱讀理解:如圖1,在平面內(nèi)選一定點O,引一條有方向的射線Ox,再選定一個單位長度,那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定,有序數(shù)對(θ,m)稱為M點的“極坐標(biāo)”,這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”. 應(yīng)用:在圖2的極坐標(biāo)系下,如果正六邊形的邊長為2,有一邊OA在射線Ox上,則正六邊形的頂點C的極坐標(biāo)應(yīng)記為( )
A.(60°,4)
B.(45°,4)
C.(60°,2 )
D.(50°,2 )
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【題目】如圖,6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格,已知菱形的一個角∠O為60°,A,B,C都在格點上,則tan∠ABC的值為 .
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【題目】為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市組織了一次初三年級1 200名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了100名學(xué)生的成績(滿分50分),整理得到如下的統(tǒng)計圖表:
成績(分) | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 5 | 8 | 15 | 9 | 11 | 12 | 8 | 6 | 4 |
成績分組 | 頻數(shù) | 頻率(百分比) |
35≤x<38 | 3 | 0.03 |
38≤x<41 | a | 0.12 |
41≤x<44 | 20 | 0.20 |
44≤x<47 | 35 | 0.35 |
47≤x≤50 | 30 | b |
請根據(jù)所提供的信息解答下列問題:
(1)頻率統(tǒng)計表中a=________,b=_______;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)請根據(jù)抽樣統(tǒng)計結(jié)果,估計該次大賽中成績不低于41分的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于點E,且四邊形ABCD的面積為4,則BE等于________.
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【題目】某輪船往返于A、B兩地之間,設(shè)船在靜水中的速度不變,那么,當(dāng)水的流速增大時,輪船往返一次所用的時間( 。
A. 不變 B. 增加 C. 減少 D. 增加,減少都有可能
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【題目】某班為滿足同學(xué)們課外活動的需求,要求購排球和足球若干個.已知足球的單價比排球的單價多元,用元購得的排球數(shù)量與用元購得的足球數(shù)量相等.
⑴排球和足球的單價各是多少元?
⑵若恰好用去元,有哪幾種購買方案?
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【題目】關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2+2=0有兩個實數(shù)根x1、x2
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若x1、x2滿足|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1,求k的值.
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