Question

（2012•順義區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，若∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在拋物線y=

1

2

x²+bx+c上，點(diǎn)N在y軸上，要使以M、N、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，這樣的點(diǎn)M、N是否存在？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出b和c的值，繼而可得出函數(shù)解析式；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后可得出∠ACB=∠PCD=45°，結(jié)合∠DPC=∠BAC，可判斷△ACB∽△PCD，利用相似三角形的性質(zhì)求出CD，然后求出OD，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）①當(dāng)BD為平行四邊形的一邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BD=

8

3

=MN，結(jié)合點(diǎn)N在y軸上，可得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

8

3

或-

8

3

，代入函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0，可得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

2

3

，代入可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（-3，6），B（-1，0）代入y=

1

2

x2+bx+c中，
得

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0.

，
解得

b=-1 c=- 3 2 .

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x2-x-

3

2

．
（2）令y=0，得

1

2

x2-x-

3

2

=0，解得 x₁=-1，x₂=3，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∵y=

1

2

x2-x-

3

2

=

1

2

(x-1)2-2，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）．
過點(diǎn)A作AE⊥x軸，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，
易得∠ACB=∠PCD=45°，
AC=

AE2+CE2

=6

2

，PC=

PF2+CF2

=2

2

，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△ACB∽△PCD，
∴

BC

CD

=

AC

PC

，
∵BC=3-（-1）=4，
∴CD=

BC•PC

AC

=

4

3

，
∴OD=OC-CD=3-

4

3

=

5

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

5

3

 ， 0)．
（3）①當(dāng)BD為一邊時(shí)，由于BD=

8

3

，此時(shí)可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

8

3

或-

8

3

，代入函數(shù)解析式y=

1

2

x2-x-

3

2

，
可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-

8

3

 ， 

85

18

)或(

8

3

 ， -

11

18

)．  
②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分，可得平行四邊形的中心的坐標(biāo)為（

1

3

，0）
由∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

2

3

，代入函數(shù)解析式可得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

2

3

 ， -

35

18

)．
綜上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（

8

3

，-

11

18

）或（-

8

3

，

85

18

）或（

2

3

，-

35

18

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，難度較大，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是判斷出△ACB∽△PCD，求出OD的長度，第三問解答的關(guān)鍵之處在于分類討論，得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．