Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊）AB=4，與y軸交于點C，OC=OA，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM，如圖1，點P在點Q左邊，當(dāng)矩形PQNM的周長最大時，求m的值，并求出此時的△AEM的面積；
（3）已知H（0，﹣1），點G在拋物線上，連HG，直線HG⊥CF，垂足為F，若BF=BC，求點G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x=﹣ =﹣1，

∵OC=OA，

∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），

∵AB=4，

∴﹣2+c﹣（﹣c）=4，

∴c=3，

∴A（﹣3，0），

代入拋物線y=ax2+2ax+3，得

0=9a﹣6a+3，

解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：如圖1，∵M(jìn)（m，0），PM⊥x軸，

∴P（m，﹣m2﹣2m+3），

又∵對稱軸為x=﹣1，PQ∥AB，

∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），

又∵QN⊥x軸，

∴矩形PQNM的周長

=2（PM+PQ）

=2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]

=2（﹣m2﹣4m+1）

=﹣2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=﹣2時，矩形PQNM的周長有最大值10，

此時，M（﹣2，0），

由A（﹣3，0），C（0，3），可得

直線AC為y=x+3，AM=1，

∴當(dāng)x=﹣2時，y=1，即E（﹣2，1），ME=1，

∴△AEM的面積= ×AM×ME= ×1×1=

（3）解：如圖2，連接CB并延長，交直線HG與Q，

∵HG⊥CF，BC=BF，

∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90°，∠BFC=∠BCF，

∴∠BFQ=∠Q，

∴BC=BF=BQ，

又∵C（0，3），B（1，0），

∴Q（2，﹣3），

又∵H（0，﹣1），

∴QH的解析式為y=﹣x﹣1，

解方程組 ，可得

或 ，

∴點G的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x﹣1，再根據(jù)OC=OA，AB=4，可得A（﹣3，0），最后代入拋物線y=ax2+2ax+3，得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）根據(jù)點M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），再根據(jù)矩形PQNM的周長=2（PM+PQ）=﹣2（m+2）2+10，可得當(dāng)m=﹣2時，矩形PQNM的周長有最大值10，M的坐標(biāo)為（﹣2，0），最后由直線AC為y=x+3，AM=1，求得E（﹣2，1），ME=1，據(jù)此求得△AEM的面積；（3）連接CB并延長，交直線HG與Q，根據(jù)已知條件證明BC=BF=BQ，再根據(jù)C（0，3），B（1，0），得出Q（2，﹣3），根據(jù)H（0，﹣1），求得QH的解析式為y=﹣x﹣1，最后解方程組 ，可得點G的坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．