Question

【題目】觀察發(fā)現(xiàn)：如圖（1），⊙O是△ADC的外接圓，點B是邊CD上的一點，且△ABC是等邊三角形．OD與AB交于點E，以O為圓心、OE為半徑的圓交AB于點F，連接CF、OF．

（1）求∠AOD的度數(shù)；

（2）線段AE、CF有何大小關(guān)系？證明你的猜想．

拓展應(yīng)用：如圖（2），△HJI是等邊三角形，點K是IH延長線上的一點．點O是△JKI的外接圓圓心，OK與JH相交于點E．如果等邊三角形△JHI的邊長為2，請直接寫出JE的最小值和此時∠JEO的度數(shù)．

Answer 1

【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：（1）∠AOD=120°；（2）結(jié)論：AE=CF．理由見解析；拓展應(yīng)用： JE的最小值為，此時∠JEO=45°．

【解析】

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）利用圓周角定理即可解決問題；
（2）結(jié)論：AE=CF．想辦法證明△AOE≌△COF即可；
拓展應(yīng)用：以O為圓心，以OE長為半徑作圓，交JH于F，連結(jié)IF，則由以上結(jié)論可得：JE=IF．根據(jù)垂線段最短即可解決問題；

解：

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠AOD=2∠ACB=120°

（2）結(jié)論：AE=CF．

理由如下：∵∠AOD=120°，

∴∠OEF+∠OAF=60°，

∵∠OAC+∠OAF=60°，

∴∠OEF=∠OAC，

∵OE=OF，OA=OC，

∴∠OEF=∠OFE=∠OAC=∠OCA，

∴∠EOF=∠AOC，

∴∠EOF+∠AOF=∠AOC+∠AOF，

∴∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF．

拓展應(yīng)用：以O為圓心，以OE長為半徑作圓，交JH于F，連結(jié)IF，則由以上結(jié)論可得：JE=IF．

當(dāng)IF⊥JH時IF最小，IF=JIsin60°=2×= ，

∵∠FJO=∠OIF，∠FGJ=∠OGI，

∴∠JOI=∠JFI=90°，

∴∠OJI=45°，

∴∠JEO=∠OJI=45°，

∴JE的最小值為，此時∠JEO=45°．