Question

設(shè)n是滿足下列條件的最小正整數(shù)，它們是75的倍數(shù)且恰有75個(gè)正因數(shù)因子（包括1和本身），求．

Answer 1

【答案】分析：先把75化為75=3×5²的形式，可知N必含有質(zhì)因數(shù)3、5，且質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)至少為2，再根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式可知n含有3個(gè)不同質(zhì)因數(shù)，次數(shù)分別為2、4、4次，即N可表達(dá)為：N=x²×y⁴×z⁴，再根據(jù)n最小即可得出x、y、z的值，進(jìn)而可得出答案．
解答：解：∵75=3×5²，
∴n必含有質(zhì)因數(shù)3、5，且質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)至少為2．
根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3個(gè)不同質(zhì)因數(shù)，次數(shù)分別為2、4、4次．
∴n可表達(dá)為：n=x²×y⁴×z⁴，
要使n最小，顯然x=5，y=3、z=2，
即n=5²×3⁴×2⁴=25×81×16=32400，
∴=5×3³×2⁴=3³×2⁴=432．
故答案為：432．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)因數(shù)的分解，熟知約數(shù)個(gè)數(shù)公式是解答此題的關(guān)鍵，即如果一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的形式是：M=x^a×y^b×z^c…，則M的約數(shù)個(gè)數(shù)=（a+1）（b+1）（c+1）…