Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點(diǎn).

（1）求證：① ∠1=∠2；② EC⊥MC.

（2）試問當(dāng)∠1等于多少度時(shí)，△ECG為等腰三角形？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）當(dāng)∠1=30°時(shí)，△ECG為等腰三角形. 理由見解析.

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得然后利用邊角邊定理證明≌再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可證明；
②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得 再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得然后據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到，所以 然后根據(jù)即可證明 從而得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合等腰三角形兩底角相等 然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．

試題解析：(1)證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，

在△ADE與△CDE,

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2，

②∵AD∥BG(正方形的對(duì)邊平行)，

∴∠1=∠G，

∵M是FG的中點(diǎn)，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCG，

∵

∴

∴EC⊥MC；

（2）當(dāng)∠1=30°時(shí)， 為等腰三角形. 理由如下：

∵要使為等腰三角形，必有

∴span>

∵

∴

∴

∴∠1=30°.

【題型】解答題
【結(jié)束】
24

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,3)是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，連結(jié)BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形.

（1）① 直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；② 求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為M，試在線段AC上找出這樣的點(diǎn)P，使得△PBM是以BM為底邊的等腰三角形并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）經(jīng)過點(diǎn)M的直線把□ OACB的面積分為1:3兩部分，求這條直線的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).

（3）所求直線為：x=2或y=x

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)B(2,3)是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，得出A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，進(jìn)而得出AO的長，即可得出BC=AO，求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求出所在解析式，進(jìn)而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點(diǎn)P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點(diǎn)上，求出即可；
（3）由條件可知經(jīng)過點(diǎn)M且把OACB的面積分為1:3兩部分的直線有兩條，分別得出即可．

試題解析：(1)①∵點(diǎn)B(2,3)是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，

∵四邊形OACB是平行四邊形，

∴BC=AO，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：(6,3)，

②設(shè)所求的拋物線為 則依題意，得

,

解得：

∴所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為：

(2)設(shè)線段AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為 根據(jù)題意，得

解得：

∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：

∵

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,1)，

∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點(diǎn)P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點(diǎn)上，

而BM=4,所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,把y=1代入中,得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(3)平行四邊形的中心對(duì)稱性可以得到經(jīng)過點(diǎn)M且把的面積分為1:3兩部分的直線有兩條,

(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面積

∴直線x=2為所求,

(ⅱ)設(shè)符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點(diǎn)

則

∴四邊形ACFE的面積

即

∵BC∥x軸，

∴△MDE∽△MBF，

∴

∴

即

∴

∴

設(shè)直線ME的函數(shù)關(guān)系式為 則

解得：

∴直線ME的函數(shù)關(guān)系式為

綜合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直線為：x=2或