Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為B₁
（1）求∠AOM的度數(shù)；
（2）點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為

 

；
（3）求證：AB+BO=AB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得出∠AOM=

1

2

∠AOA₁，求出即可；
（2）過(guò)A作AC⊥x軸于C，過(guò)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1求出AO=2，OC=

3

，BO=2

3

=OB₁，根據(jù)∠B₁DO=90°和∠DOB₁=30°求出OD即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱得出線段AB₁線段A₁B關(guān)于直線MN對(duì)稱，求出AB₁=A₁B，根據(jù)A₁B=A₁O+BO和A₁O=AO推出即可．

解答：（1）解：∵點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上，
∴直線MN垂直平分AA₁，
∴AO=OA₁，
∴∠AOM=

1

2

∠AOA₁=

1

2

×（180°-30°）=75°．

（2）過(guò)A作AC⊥x軸于C，過(guò)B₁作BD⊥x軸于D，
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，
∴AC=1，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴AO=2，OC=

3

，BO=2

3

=OB₁，
∵∠B₁DO=90°，∠DOB₁=30°，
∴B₁D=

3

，OD=

3

B₁D=3，
故答案為：3；

（3）∵A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為B₁，
∴線段AB₁線段A₁B關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴AB₁=A₁B，
而A₁B=A₁O+BO，A₁O=AO，
∴AB₁=AO+BO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理和計(jì)算能力．