Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G，AB=3，AD=4．

（1）如圖，當(dāng)∠DAG=30° 時(shí)，求BE的長；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段GC的長；

（3）如圖，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△CFE的周長最小時(shí)，直接寫出BE的長．

Answer 1

【答案】(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90，

∵∠DAG=30，

∴∠BAG=60

由折疊知,∠BAE= ∠BAG=30，

在Rt△BAE中,∠BAE=30，AB=3，

∴BE=

(2)如圖,連接GE，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90，

∴∠EFG=90，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,

EG=EG，

EF=EC，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

∴GF=GC；

設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3x，

在Rt△ADG中,42+(3x)2=(3+x)2，

解得x= .

(3)如圖1,

由折疊知,∠AFE=∠B=90，EF=BE，

∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，

∴當(dāng)CF最小時(shí)，△CEF的周長最小，

∵∠AFE=90，

∴點(diǎn)A，F，C在同一條直線上時(shí)，CF最小，

由折疊知，AF=AB=3，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，

∴AC=5，

∴CF=ACAF=2，

在Rt△CEF中,

.EF2+CF2=CE2，

∴BE2+CF2=(4BE)2，

∴BE2+22=(4BE)2，

∴BE= .

【解析】

試題（1）先確定出∠BAE=30°，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論

（2）連接GE，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證FG=CG，設(shè)GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（3）先判斷出EF⊥AC時(shí)，△CEF的周長最小，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵∠DAG=30°，

∴∠BAG=60°

由折疊知，∠BAE=∠BAG=30°，

在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，

∴BE=；

(2)如圖，/span>連接GE，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

∴GF=GC；

設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3x，

在Rt△ADG中，42+(3x)2=(3+x)2，

解得x=.

（3）如圖1，

由折疊知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，

∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，

∴當(dāng)CF最小時(shí)，△CEF的周長最小，

∵∠AFE=90°，

∴點(diǎn)A，F(xiàn)，C在同一條直線上時(shí)，CF最小，

由折疊知，AF=AB=3，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，

∴AC=5，

∴CF=ACAF=2，

在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，

∴BE2+CF2=(4BE)2，

∴BE2+22=(4BE)2，

∴BE=.