Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD=4S△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得： ，

解得 ；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4

（2）

解：由于A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸（即y軸）對(duì)稱，連接BD．

則BD與y軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：

，

解得 ；

∴直線BD的解析式為y=x﹣2，點(diǎn)M（0，﹣2）

（3）

解：

設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為N，則有N（0，﹣3）；

∴MN=1，BN=1，ON=3；

S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM= （1+2）×3﹣ ×2×2﹣ ×1×1=2；

∴S△PAD=4S△ABM=8；

由于S△PAD= AD|yp|=8，

即|yp|=4；

當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4時(shí)，x2﹣4=4，

解得x=±2 ，

∴P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4）；

當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣4時(shí)，x2﹣4=﹣4，

解得x=0，

∴P3（0，﹣4）；

故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4），P3（0，﹣4）．

【解析】（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值；（2）由于A、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸即y軸對(duì)稱，那么連接BD，BD與y軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線BC與y軸的交點(diǎn)為N，那么△ABM的面積即為梯形ABNO、△BMN、△AOM的面積差，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長(zhǎng)為定值，可根據(jù)其面積求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．