Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A．C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，△APC與△ABC全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC�！唷鰽CO為等邊三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC與圓O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥DC�！唷螪CO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到弧CB的中點(diǎn)時(shí)，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP和△BOP都為等邊三角形�！郃C=CP=OA=OP。
∴四邊形AOPC為菱形。
（3）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC。
當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC與Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△CPA。

切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，菱形的判定。
【分析】（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC為等邊三角形，可得出三個(gè)內(nèi)角都為60°，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數(shù)。
（2）由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為CB 的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧對(duì)等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，從而得到△COP與△BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形。
（3）點(diǎn)P有兩個(gè)位置使△APC與△ABC全等，其一：P與B重合時(shí)，顯然兩三角形全等；第二：當(dāng)CP為圓O的直徑時(shí)，此時(shí)兩三角形全等。