Question

已知：關于x的方程mx²+(3m+1)x+3=0．

（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；

（2）如果該方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，令y=mx²+(3m+1)x+3，如果當x₁=a與x₂=a+n（n≠0）時有y₁=y₂，求代數(shù)式4a²+12an+5n²+16n+8的值．

Answer 1

解：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數(shù)根 x=－3．…………1分

當m≠0時，原方程為一元二次方程．

∵△=(3m+1)²－12m=9m²－6m+1=(3m－1)²．

∵m≠0，∴不論m為任何實數(shù)時總有(3m－1)²≥0．

∴此時方程有兩個實數(shù)根．………………………………………………2分

綜上，不論m為任何實數(shù)時，方程 mx²+(3m+1)x+3=0總有實數(shù)根．

（2）∵mx²+(3m+1)x+3=0．

解得 x₁=－3，x₂=． ………………………………………………3分

∵方程mx²+(3m+1)x+3=0有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，

∴m=1．………………………………………………………………………5分

（3）∵m=1，y=mx²+(3m+1)x+3．

∴y=x²+4x+3．

又∵當x₁=a與x₂=a+n（n≠0）時有y₁=y₂，

∴當x₁=a時，y₁=a²+4a+3，

當x₂=a+n時，y₂=(a+n)²+4(a+n)+3．

∴a²+4a+3=(a+n)²+4(a+n)+3．

化簡得 2an+n²+4n=0．

即 n(2a+n+4)=0．

又∵n≠0，∴2a=－n－4．  

∴ 4a²+12an+5n²+16n+8

=(2a)²+2a•6n+5n²+16n+8

  =(n+4)²+6n(－n－4)+5n²+16n+8=24．