Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4cm．
求：（1）對角線AC的長；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四邊形ACED為平行四邊形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4，
根據(jù)勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2BD²=（4）²，
解得BD=4，
即AC=4cm；

（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S_梯形ABCD=×AC×BD=8cm²．
分析：（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點，利用梯形的性質平移對角線AC，由題意可知，兩條對角線與上、下底的和構成等腰直角三角形，已知斜邊BE=AD+BC=4，可求直角邊DE的長，即AC長；
（2）當四邊形對角線互相垂直時，四邊形的面積等于兩條對角線積的一半，由此進行計算．
點評：本題考查了梯形常用作輔助線的方法：平移一條對角線，使梯形的兩條對角線，上、下底的和圍成三角形，再根據(jù)梯形其它條件解題．