【題目】我們定義:對于拋物線y,以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對稱的拋物線y′,則我們稱拋物線y′為拋物線y關(guān)于點(diǎn)M(0,m)的“衍生拋物線”,點(diǎn)M為“衍生中心”.
(1)求拋物線y=x2-2關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)的衍生拋物線的解析式.
(2)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0)
①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a、b的值及衍生中心的坐標(biāo);
②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點(diǎn)為A2;……;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(用含n的式子表示).
【答案】(1)y'=-x2+2;(2)①a=3,b=-3,衍生中心的坐標(biāo)為(0,6);②AnAn+1= 4n+2.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線對稱性質(zhì)可知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)和衍生拋物線中y'的a值互為相反數(shù),由中心對稱可由已知拋物線y=x2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,-2)求出衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,2)即可得到衍生拋物線的解析式.
(2)①求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),分別代入拋物線解析式中,即可求出a,b的值,即可得出結(jié)論;②求出拋物線頂點(diǎn)關(guān)于(0,k+n2)和(0,k+(n+1)2)的對稱點(diǎn)坐標(biāo),即可得出結(jié)論.
解:(1)∵拋物線y=x2-2的頂點(diǎn)為(0,-2),
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,-2)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱點(diǎn)為(0,2),
∴衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),
∵衍生拋物線開口大小不變,方向改變,故二次項(xiàng)系數(shù)為原二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),
∴衍生拋物線的解析式為:y'=-x2+2.
(2)①拋物線y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,
∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b),
∵拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2=b(x-1)2+a2-b,
∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,a2-b),
∵兩個(gè)拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),
∴,
∴a=0(舍)或a=3,
∴b=-3,
∴拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),拋物線y的衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,12),
∵衍生中心為兩頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),
∴衍生中心的坐標(biāo)為(0,6);
②拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b),
∵點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的對稱點(diǎn)為(1,a+b+2k+2n2),
∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為(1,a+b+2k+2n2),
同理:An+1(1,a+b+2k+2(n+1)2),
∴AnAn+1=a+b+2k+2(n+1)2-(a+b+2k+2n2)=4n+2.
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(1)攪勻后從中摸出個(gè)盒子,盒中的紙片既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是 ;
(2)攪勻后先從中摸出個(gè)盒子(不放回),再從余下的個(gè)盒子中摸出個(gè)盒子,把摸出的個(gè)盒中的紙片長度相等的邊拼在一起,求拼成的圖形是軸對稱圖形的概率.(不重疊無縫隙拼接)
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(1)求證:對于任意實(shí)數(shù),方程都有實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)為何值時(shí),方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)?請說明理由.
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【題目】某公司從年初以來累計(jì)利潤S(萬元)與時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤總和S和t之間的關(guān)系)為二次函數(shù)關(guān)系.試根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
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(3)第10個(gè)月該公司所獲利潤是多少萬元?
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每人生產(chǎn)零件數(shù) | 260 | 270 | 280 | 290 | 300 | 310 | 350 | 520 |
人 數(shù) | 1 | 1 | 5 | 4 | 3 | 4 | 1 | 1 |
(1)請應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識.為制定生產(chǎn)定額的管理者提供有用的參考數(shù)據(jù);
(2)你認(rèn)為管理者將每月每人的生產(chǎn)定額定為多少最合適?為什么?
(3)估計(jì)該車間全年可生產(chǎn)零件多少個(gè)?
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