Question

如圖一，已知點P是邊長為a的等邊△ABC內(nèi)任意一點，點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h₁，h₂，h₃，則h₁，h₂，h₃之間有什么關(guān)系呢？
分析：連接PA、PB、PC，則△ABC被分割成三個三角形，根據(jù)：
S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：

1

2

ah1+

1

2

ah2+

1

2

ah3=

3

4

a2，可得h1+h2+h3=

3

2

a．
問題1：若點P是邊長為a的等邊△ABC外一點（如圖二所示位置），點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h₁，h₂，h₃．探索h₁，h₂，h₃之間有什么關(guān)系呢？并證明你的結(jié)論；
問題2：如圖三，正方形ABCD的邊長為a，點P是BC邊上任意一點（可與B、C重合），B、C、D三點到射線AP的距離分別是h₁，h₂，h₃，設(shè)h₁+h₂+h₃=y，線段AP=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）探索h₁，h₂，h₃之間的關(guān)系，可以根據(jù)等量關(guān)系S_{四邊形ABCP}=S_△APC+S_△ABC得出等式，解決問題；
（2）連接DP、AC，可知S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP，∵S_△DCP=S_△ACP，即S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△ACP的等量關(guān)系，列出方程，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，按照自變量的取值范圍求出y的最大值與最小值．

解答：解：問題1：h₁+h₂-h₃=

3

2

a（2分）
理由：連接PA、PB、PC
∵PE⊥BC，PD⊥BA，且△ABC是邊長為a的等邊三角形
∴S_△PAB=

ah1

2

，S_△PBC=

ah2

2

∴S_{四邊形ABCP}=S_△PAB+S_△PBC=

ah1

2

+

ah2

2

（2分）
又∵S_{四邊形ABCP}=S_△APC+S_△ABC=

ah3

2

+

3

4

a2（1分）
∴

ah1

2

+

ah2

2

=

ah3

2

+

3

4

a2即：h₁+h₂-h₃=

3

2

a；（1分）


問題2：連接DP、AC
易求：S_△APB+S_△ADP+S_△ACP=

x(h1+h2+h3)

2

（2分）
易證：S_△DCP=S_△ACP（同底等高）（2分）
而S_{正方形ABCD}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP
∴

xy

2

=a2
∴y=

2a2

x

（a≤x≤

2

a）（2分）
∵2a²＞0
∴y隨x的增大而減少
∴當(dāng)x=

2

a時，y_最小=

2

a，當(dāng)x=a時，y_最大=2a．（2分）

點評：此題是一個綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解反比例函數(shù)等知識．難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神．