【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E,連接CE,CB.
(1)求證:CE=CB;
(2)若AC=2 ,CE= ,求AE的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明連接OC,
∵CD是⊙O的切線,
∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠1=∠3.
又OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∴CE=CB;
(2)解:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC=2 ,CB=CE= ,
∴AB= = =5.
∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,
∴△ADC∽△ACB,
∴ = = ,即 = = ,
∴AD=4,DC=2.
在直角△DCE中,DE= =1,
∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3.
【解析】(1)連接OC,利用切線的性質(zhì)和已知條件推知OC∥AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊證得結(jié)論;(2)AE=AD﹣ED,通過相似三角形△ADC∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD=4,DC=2.在直角△DCE中,由勾股定理得到DE= =1,故AE=AD﹣ED=3.
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)習(xí)小組由3名男生和1名女生組成,在一次合作學(xué)習(xí)后,開始進(jìn)行成果展示.
(1)如果隨機(jī)抽取1名同學(xué)單獨(dú)展示,那么女生展示的概率為;
(2)如果隨機(jī)抽取2名同學(xué)共同展示,求同為男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A,P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x,PB=y,則(x﹣y)的最大值是 .
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【題目】因長(zhǎng)期干旱,甲水庫蓄水量降到了正常水位的最低值.為灌溉需要,由乙水庫向甲水庫勻速供水,20h后,甲水庫打開一個(gè)排灌閘為農(nóng)田勻速灌溉,又經(jīng)過20h,甲水庫打開另一個(gè)排灌閘同時(shí)灌溉,再經(jīng)過40h,乙水庫停止供水.甲水庫每個(gè)排泄閘的灌溉速度相同,圖中的折線表示甲水庫蓄水量Q(萬m3) 與時(shí)間t(h) 之間的函數(shù)關(guān)系.求:
(1)線段BC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)乙水庫供水速度和甲水庫一個(gè)排灌閘的灌溉速度;
(3)乙水庫停止供水后,經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲水庫蓄水量又降到了正常水位的最低值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD于點(diǎn)E,CF平分∠BCD,交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且BC=4,CD=2,給出下列結(jié)論:①∠BAE=∠CAD;②∠DBC=30°;③AE= ;④AF=2 ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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【題目】如圖,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD:BD=5:3,CF=6,則DE的長(zhǎng)為( )
A.6
B.8
C.10
D.12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=90°,反比例函數(shù)y=﹣ (x<0)的圖象過點(diǎn)A(﹣1,a),反比例函數(shù)y= (k>0,x>0)的圖象過點(diǎn)B,且AB∥x軸.
(1)求a和k的值;
(2)過點(diǎn)B作MN∥OA,交x軸于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,交雙曲線y= 于另一點(diǎn),求△OBC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“低碳環(huán)保,綠色出行”的理念得到廣大群眾的接受,越來越多的人再次選擇自行車作為出行工具,小軍和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書館,爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間,休息了5分鐘,再以m米/分的速度到達(dá)圖書館,小軍始終以同一速度騎行,兩人行駛的路程y(米)與時(shí)間x(分鐘)的關(guān)系如圖,請(qǐng)結(jié)合圖象,解答下列問題:
(1)a= , b= , m= ;
(2)若小軍的速度是120米/分,求小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí),距圖書館的距離;
(3)在(2)的條件下,爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前,何時(shí)與小軍相距100米?
(4)若小軍的行駛速度是v米/分,且在途中與爸爸恰好相遇兩次(不包括家、圖書館兩地),請(qǐng)直接寫出v的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b為常數(shù))與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn),直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y= x+ .
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)M(m,0)是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),當(dāng)m為何值時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問條件下,當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí),動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′,將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間);
i:探究:線段OB上是否存在定點(diǎn)P(P不與O、B重合),無論ON如何旋轉(zhuǎn), 始終保持不變,若存在,試求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
ii:試求出此旋轉(zhuǎn)過程中,(NA+ NB)的最小值.
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